நா

நீண்ட காலத்துக்குப் பிறகு இந்த வலைப்பதிவுக்கு வாறீங்க. வாங்கோ. நான் கூடத்தான் வந்து கன காலம் ஆகுது. வந்துட்டீங்கதான். இந்த ஆச்சரியத்தைப் பாத்துட்டுப் போங்கோ.

உங்ளுக்கு பத்தினை ஒன்பதினால் பிரித்தால் வரும் எண்ணைத் தெரியுமல்லவா. அதாவது,

10/9 = 1.11111111111111................................ இப்படியே போய்க்கொண்டிருக்கும். இதனை நாங்கள் 1.111' என்று குறிப்பது வழக்கம்.

உதாரணமாக,

70/9 = 7.777'

இப்போது தொடர்ந்து செல்லும் எண்களைக் குறிக்கத்தெரிந்துவிட்டது.

நான் என்ன சொல்கிறேன் என்றால்...

1 உம் 0.999' உம் சமனானவை என்கிறேன். இல்லையென்கிறீர்களா நீங்கள்?

பாருங்கோ நிறுவிக் காட்டுறன்.

n = 0.999'
10 x n = 10 x 0.999'
10n = 9.999'
10n - n = 9.999' - n
10n - n = 9.999' - 0.999'
9n = 9
n = 1

அதாவது 1 = 0.999'

நம்பக் கஷ்டமாக இருக்கிறதா? ஆனால் உண்மதான் இது. அதாவது
1 = 0.999'
2 = 1.999'
3 = 2.999'
_ _ _ _ _
_ _ _ _ _

நேர்கோடு என்பது ஒரு வட்டம் என்ற உண்மையை எவ்வாறு எங்கள் மனம் நம்ப மறுக்கிறதோ, அதேபோல் இதையும் நம்ப மறுக்கும் எங்கள் மனம்.

பி.கு: இதற்கு வந்த பின்னூட்டங்களால் இலகுவாக இந்த உண்மையை விளங்கத்தக்க வகையில் இரண்டாவது பதிவை இங்கே இட்டிருக்கிறேன்.

- மதுவதனன் மௌ. -

 
இடுகை பிடித்தால் மேல்க்கையிலும், பிடிக்காவிட்டால் கீழ்க்கையிலும் சொடுக்கிவிட்டுப் போங்கோ

31 பின்னூட்டங்கள்.

நிமல்/NiMaL July 17, 2008 at 7:41 PM

ஒரு 'விதமாக' யோசிச்சா சரி போல தான் இருக்கு...
:)

பழமைபேசி July 17, 2008 at 7:42 PM

1 உம் 0.999' உம் சமனானவை இல்லைனு நாங்க சொல்லவே இல்லையே?!

கோவி.கண்ணன் July 17, 2008 at 8:22 PM

//கணிதப் புலிகளே வாருங்கள் (1 = 0.999999') //

கணக்கை தீர்வு செய்திருப்பது புதிய செய்தியைத் தந்தது. நன்றி !

புலியைவிட சிறுத்தையே விரைவாக ஓடக் கூடியது, பிறகு ஏன் கணித சிறுத்தையே என்று சொல்வதில்லை ?

Anonymous July 17, 2008 at 8:35 PM

kalajjal saamy. ivvolo naal unga thalam pakkame varala. will visit again. Keep posting!

Anonymous July 17, 2008 at 8:44 PM

So, here's something to consider: What fraction corresponds to
_
0.9 = ?

It has to be something over 9, right?
_
0.9 = ? / 9

The _only_ thing it could possibly be is
_
0.9 = 9 / 9

right? But that's the same as 1.

அறிவன்#11802717200764379909 July 17, 2008 at 8:44 PM

நீங்கள் 1ம் 0.999 ம் சமம் என்றே சொல்லவிலையே..
n என்ற ஒரு வேரியபிளுக்கு 1 ம் 0.99 ம் இரு மதிப்புகள் என்று நிறுவுகிறீர்கள் அவ்வளவுதான்,அதுவும் ஆரம்பத்திலேயே n=0.99 என்ற assumption'ஐ மேற்கொண்டு !

n=0.99 என்ற assumption ஐ மேற்கொள்ளாமல் நிறுவுங்களேன் !

மதுவதனன் மௌ. July 17, 2008 at 8:48 PM

//நிமல்/NiMaL said...

ஒரு 'விதமாக' யோசிச்சா சரி போல தான் இருக்கு...
:)//

ஒரு விதமா இல்லை நிமல் எப்படி யோசிச்சாலும் உண்மை அதுதான் :-)

மதுவதனன் மௌ. July 17, 2008 at 8:50 PM

//பழமைபேசி said...

1 உம் 0.999' உம் சமனானவை இல்லைனு நாங்க சொல்லவே இல்லையே?!//

சும்மா ஒரு எபெஃக்டுக்கா அந்த வசனத்தைச் சேர்த்தேனுங்க :-))

மதுவதனன் மௌ. July 17, 2008 at 8:58 PM

//கோவி.கண்ணன் said...

புலியைவிட சிறுத்தையே விரைவாக ஓடக் கூடியது, பிறகு ஏன் கணித சிறுத்தையே என்று சொல்வதில்லை //

தெரியலீங்க...சத்தியமா தெரியலீங்க.

அதுசரி நீஙக பார்த்தீபனுக்கு உறவா? :-))

மதுவதனன் மௌ. July 17, 2008 at 9:00 PM

//Anonymous said...

Keep posting!//

வேலைப்பளுவோட உங்க வசனத்துக்கு கீழ்படிஞ்சு நடக்க முயற்சிப்பது கூட கஷ்டமாகத்தான் இருக்குதுங்கோ.

பார்போம்.

மதுவதனன் மௌ. July 17, 2008 at 9:06 PM

//Anonymous said...

So, here's something to consider: What fraction corresponds to
_
0.9 = ?

It has to be something over 9, right?
_
0.9 = ? / 9

The _only_ thing it could possibly be is
_
0.9 = 9 / 9

right? But that's the same as 1.//

இல்லைங்க. 0.9 என்பது ஒரு பின்ன எண். அதாவது 0.9 = 9/10 என இலகுவாகக் குறிப்பிடலாம்.

நீங்கள் ஒன்றை இங்கு கவனிக்க வேண்டும். நான் குறிப்பிடுவது 0.9 இனையோ அல்லது 0.99 இனையோ அல்ல. இது 0.999' அதாவது 0.9999999999999999...எனப் போய்க்கொண்டிருக்கும் எண்.

ஏன் நல்ல விசயத்தைத்தானே எழுதியிருக்கிறீங்க. கீழே உங்கள் பெயரைப்போட்டால் என்னவாம். :-))

மதுவதனன் மௌ. July 17, 2008 at 9:15 PM

// அறிவன்#11802717200764379909 said...

நீங்கள் 1ம் 0.999 ம் சமம் என்றே சொல்லவிலையே..
n என்ற ஒரு வேரியபிளுக்கு 1 ம் 0.99 ம் இரு மதிப்புகள் என்று நிறுவுகிறீர்கள் அவ்வளவுதான்,//

வாங்கோ அறிவன்,

உண்மையில் நான் 1 உம் 0.999 உம் சமனென்று சொல்லவில்லை. அது பொய்யும் கூட. நான் சொல்லவது 1 உம் 0.999999999..எனச் செல்லும் எண்ணும் சமனென்பதையே.

//அதுவும் ஆரம்பத்திலேயே n=0.99 என்ற assumption'ஐ மேற்கொண்டு !

n=0.99 என்ற assumption ஐ மேற்கொள்ளாமல் நிறுவுங்களேன் !//

கணிதத்தில் இவ்வாறு எடுகோளொன்றை வைத்துக்கொண்டு நிறுவுதல் என்பது இயல்பே. இயல்பென்பதற்கப்பால் அது ஒரு முறை. அது இல்லையெனின் சில விடயங்களை நிறுவவே முடியதாது. மேலும் அந்நிறுவல்கள் உண்மையானவையும் கூட.

உதாரணத்துக்கு "2 இன் வர்க்கமூலத்தை பின்ன எண்ணாகக் குறிப்பிட முடியாது" என்பதை நிறுவும் பிரபல முறைகூட எடுகோளை அடிப்படையாகக் கொணடதே.

அடுத்த சில பதிவுகளில் அதையும் நீங்கள் எதிர்பார்க்கலாம்.

1 = 0.9999999999' என்பது உண்மையே.

Anonymous July 17, 2008 at 9:20 PM

//ஏன் நல்ல விசயத்தைத்தானே எழுதியிருக்கிறீங்க. கீழே உங்கள் பெயரைப்போட்டால் என்னவாம். :-))//

பிரச்சினை வராதென்றால் சரிதான்.

ஓசை செல்லா

ஓசை செல்லா July 17, 2008 at 9:23 PM

Date: 03/21/2001 at 16:22:11
From: Doctor Ian
Subject: Re: .999999..... I still don't get it

Hi Emily and Jenny,

There's no doubt that this equality is one of the weirder things in
mathematics, and it _is_ intuitive to think: No matter how many 9's
you add, you'll never get all the way to 1.

But that's how it seems if you think about moving _toward_ 1. What if
you think about moving _away_ from 1?

That is, if you start at 1, and try to move away from 1 and toward
0.99999..., how far do you have to go to get to 0.99999... ? Any step
you try to take will be too far, so you can't really move at all -
which means that to move from 1 to 0.99999..., you have to stay at 1.

Which means they must be the same thing!

Here's another way to think about it. When you write something like

0.35

that's really the same as 35/100,

0.35 = 35 / 100

right? Well, you can turn that into a repeating decimal by dividing by
99 instead of 100:
__
0.35353535... = 0.35 = 35 / 99

Play around with some other fractions, like 2/9, 415/999, and so on,
to convince yourself that this is true. (A calculator would be
helpful.)

In general, when we have N repeating digits, the corresponding
fraction is

(the digits) / (10^N - 1)

Again, some examples can help make this clear:
_
0.1 = 1/9
__
0.12 = 12/99
___
0.123 = 123/999

and so on.

So, here's something to consider: What fraction corresponds to
_
0.9 = ?

It has to be something over 9, right?
_
0.9 = ? / 9

The _only_ thing it could possibly be is
_
0.9 = 9 / 9

right? But that's the same as 1.

Ultimately, though, this probably won't _really_ make sense until you
come to grips with what it means for a decimal to repeat _forever_,
instead of just for a r-e-a-l-l-y l-o-n-g t-i-m-e.

When you think of 0.999... as being 'a little below 1', it's because
in your mind, you've stopped expanding it; that is, instead of

0.999999...

you're _really_ thinking of

0.999...999

which is not the same thing. You're absolutely right that 0.999...999
is a little below 1, but 0.999999... doesn't fall short of 1 _until_
you stop expanding it. But you never stop expanding it, so it never
falls short of 1.

Suppose someone gives you $1000, but says: "Now, don't spend it all,
because I'm going to go off and find the largest integer, and after I
find it I'm going to want you to give me $1 back." How much money has
he really given you?

On the one hand, you might say: "He's given me $999, because he's
going to come back later and get $1."

But on the other hand, you might say: "He's given me $1000, because
he's _never_ going to come back!"

It's only when you realize that in this instance, 'later' is the same
as 'never', that you can see that you get to keep the whole $1000. In
the same way, it's only when you really understand that the expansion
of 0.999999... _never_ ends that you realize that it's not really 'a
little below 1' at all.

I hope this helps. Let me know if you'd like to talk about this some
more, or if you have any other questions.

- Doctor Ian, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/

தமிழரங்கம் July 18, 2008 at 1:30 AM

n = 0.999'
10 x n = 10 x 0.999' <-------
10n = 9.999' <------
10n - n = 9.999' - n
10n - n = 9.999' - 0.999'
9n = 9
n = 1
0.999 ஜ பத்தால் பெருக்கும் போது வரவேண்டிய விடை 9.99 ஆக இருக்கவேண்டும்.
எப்படி 9.999 ஆகியது ?

இதை ஏற்றுக்கொண்டால் மட்டுமே மேற் கொண்டு வரும் மற்ற வரிகளுக்கு நாம் செல்ல முடீயும்.

எனவே இந்த நிறுவலானது இடையில் தவறு ஒன்றை அறியா வண்ணம் செருகுவதன் மூலம் முடிவுக்கு இட்டுச்செல்கின்றது.

அதிஷா July 18, 2008 at 10:07 AM

:-((

இத இஸ்கூல்ல வேற மாதிரிலா சொல்லி குடுத்தாய்ங்க

அவ்வ்வ்

அறிவன்#11802717200764379909 July 18, 2008 at 10:45 AM

//உதாரணத்துக்கு "2 இன் வர்க்கமூலத்தை பின்ன எண்ணாகக் குறிப்பிட முடியாது" என்பதை நிறுவும் பிரபல முறைகூட எடுகோளை அடிப்படையாகக் கொணடதே.//


//எனவே இந்த நிறுவலானது இடையில் தவறு ஒன்றை அறியா வண்ணம் செருகுவதன் மூலம் முடிவுக்கு இட்டுச்செல்கின்றது. //

Thanks.
I am a Maths Graduate first & I do know the theorem description ways.

But mathematical theorems shall be derived by first taking a variable as X & will derive that X is EQUAL to some thing.
But Here you assume X=0.9999 & then derive X=1.
The derivation is arrived at because,you substitute the X value with the first assumed value(0.99999) somewhere in between;Hence automatically the second assumed value is derived(1),which is very common.

Becuase a varibale X(Here it is N) is assumed one value,an equation formed,the assumed first value is replaced & second value is derived.

So this doesn't have even semblance of matematics except that the method of derivation is used.

வெண்பூ July 18, 2008 at 3:07 PM

Good post. keep going.

மதுவதனன் மௌ. July 18, 2008 at 4:46 PM

பின்னூட்டத்துக்கு பதில்களை இன்று இரவு இடுகிறேன் நண்பர்களே.

நீங்கள் அடிக்கடி இந்தப் பதிவைப்பார்த்து இதுகூட தமிழ்மண சூடான இடுகைக்குப் போய்விட்டது...:-)

மதுவதனன் மௌ.

Umakanthan A. July 18, 2008 at 9:37 PM

#தமிழரங்கம் said...:
#0.999 ஜ பத்தால் பெருக்கும் போது #வரவேண்டிய விடை 9.99 ஆக #இருக்கவேண்டும்.
#எப்படி 9.999 ஆகியது ?

I have same doubt...

மதுவதனன் மௌ. July 18, 2008 at 11:23 PM

வாங்கோ ஓசைசெல்லா,

பெயரைக்குறிப்பிட்டதுக்கு நன்றிகளுடன்

//From: Doctor Ian//

யம்மாடி, டாக்டருங்க எல்லாம் இதைப்பற்றி ஆராய்ந்திருக்கானுகளா..

அப்போ எனக்கு இதைப்பற்றி தெளிவாக கூறவேண்டிய கடமை இருக்குது. இங்கே போய் பாருங்கோ.

மதுவதனன் மௌ. July 18, 2008 at 11:28 PM

http://n-aa.blogspot.com/2008/07/1-0999999-2.html
//
தமிழரங்கம் said...
0.999 ஜ பத்தால் பெருக்கும் போது வரவேண்டிய விடை 9.99 ஆக இருக்கவேண்டும்.
எப்படி 9.999 ஆகியது ?

இதை ஏற்றுக்கொண்டால் மட்டுமே மேற் கொண்டு வரும் மற்ற வரிகளுக்கு நாம் செல்ல முடீயும்.
//

நீங்கள் சொல்வது சரி, ஆனால் நான் 0.999 இனைப் 10 ஆல் பெருக்கவில்லை. நான் 0.999' அதாவது 0.9999999999...இனையே பத்தால் பெருக்கினேன். எனவே நீங்கள் குறிப்பிடுவது தவறானது.

//
எனவே இந்த நிறுவலானது இடையில் தவறு ஒன்றை அறியா வண்ணம் செருகுவதன் மூலம் முடிவுக்கு இட்டுச்செல்கின்றது.
//

மேலுள்ள பதிலின்படி தவறு ஒன்றை செருகவில்லை எனக் கூறிக் கொள்கிறேன்.

பின்னூட்டத்திற்கு நன்றி தமிழரங்கம்

மதுவதனன் மௌ. July 18, 2008 at 11:32 PM

//அறிவன்#11802717200764379909 said...

Thanks.
I am a Maths Graduate first & I do know the theorem description ways.//

வாங்கோ அறிவன்,

உங்களை கணிதப் பட்டதாரியாக சந்திப்பதில் பெருமகிழ்ச்சி. கருத்துக்களை பகிர்ந்து கொள்ளலாமல்லவா.

உங்கள் சந்தேகத்திற்கு இங்கே தீர்வெழுதியிருக்கிறேன். பாருங்கள்

மதுவதனன் மௌ. July 18, 2008 at 11:35 PM

//
வெண்பூ said...

Good post. keep going.
//

சொல்லிட்டீங்கல்ல...போய்க்கிட்டே இருப்பம் :-))

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 12:14 AM

வாங்கோ உமாகாந்தன்,

எல்லோருடைய சந்தேகத்திற்கும் பதிலாக எனது இந்தப் பதிவைப் பாருங்கள்.

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 12:38 AM

//
அதிஷா said...

:-((

இத இஸ்கூல்ல வேற மாதிரிலா சொல்லி குடுத்தாய்ங்க

அவ்வ்வ
//

வாங்கோ அதிஷா அண்ணா, என்ன உங்களுக்கு இது பிழைன்னு சொல்லித்தந்தாங்களா, அவங்களை சந்திச்சா சொல்லுங்க அது பிழைன்னு :-)))

கயல்விழி July 19, 2008 at 2:43 AM

இதுக்கு பேர் தான் உக்காந்து யோக்கிக்கிறதா? :)

Good post, entertaining :)

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 12:52 PM

வாங்கோ கயல்விழி,

சும்மா பதிவைப் போட்டு பின்னூட்டங்களாலதான் உக்கார்ந்து யோசிக்க வச்சுட்டாங்க,

நன்றி.

நல்லதந்தி July 20, 2008 at 5:15 PM

ஏற்கனவே எனக்கு கணக்கில தகராறு நீங்க வேற குழப்புறீங்களே!

ரஜினியும் கமலும் சமம்ங்கற மாதிரி நீங்க ஏதோ ஒரு ரூட்டில போயி,என்னத்தையோ பண்ணி ஒரே தட்டுல நிறுத்துர மாதிரி இருக்கு?.இந்த ரூட்டில எண்ணே இல்லாம எழுத்த கூட சமம்ன்னு சொல்லலாம் போலிருக்கே. நான் சொல்றது எனக்கே புரியிலெ சரியா தப்பா?. தலை சுத்துது.அப்புறம் வர்ரேன்! :)

R. சுதாகர் July 23, 2008 at 1:04 AM

அண்ணாச்சி!
தப்புக்கணக்கு போட்டு எங்களையெல்லாம் ஏமாத்திப்போடலாம்னு நெனச்சீங்களா! இத்தனை பேரு மண்டைய காய விட்டு இப்படி வேடிக்கை பாக்கறீங்களே...
அதெப்படிங்க 9.999' - 0.999' = 9 னு நீங்களா முடிவு பண்ணிகிட்டீங்க ? இந்த கணக்கு சாதா எண்களுக்கு மட்டும் தான பொருந்தும் ? '''''' க்கு பொருந்தாது.
9.999' - 0.999' = 8.999' னு போட்டுப் பாருங்க...
சாதாரணமா கூட்டி கழிச்சு பார்த்தா கணக்கு தப்பா தான் வரும் !

- கணிதச்சிறுத்தை
R. சுதாகர்.

மதுவதனன் மௌ. July 26, 2008 at 8:34 PM

//R. சுதாகர் said...
அதெப்படிங்க 9.999' - 0.999' = 9 னு நீங்களா முடிவு பண்ணிகிட்டீங்க ? இந்த கணக்கு சாதா எண்களுக்கு மட்டும் தான பொருந்தும் ? '''''' க்கு பொருந்தாது.
9.999' - 0.999' = 8.999' னு போட்டுப் பாருங்க...

- கணிதச்சிறுத்தை
R. சுதாகர்.//

புலிகளை கூப்பிட்டா சிறுத்தையா வந்திருக்கிறீங்கள்.

9.999' - 0.999' = 8.999' என்பதை நீங்களே திரும்ப ஒரு முறை பாத்தா பிழை எண்டுதான் சொல்லுவீங்க :-))

நீங்களும் பின்னூட்டமிடுங்கோ