இந்த சூடு விழுகின்ற சங்கதிகளை இந்தியாவிலும், இந்தியச் சினிமாக்களிலும்தான் பார்த்திருக்கிறோம். இனி இலங்கையிலும் இதற்குச் சந்தர்ப்பம் கிடைத்திருக்கிறது என்பதில் கொஞ்சம் மகிழ்ச்சிதான் (??).

அவசரமாக காலி வீதிக்குப் போகவேணும் எண்டாலும் குறைந்தது 60 ரூபா அழவேண்டும் முச்சக்கரவண்டிக்காரர்களுக்கு. இந்தியா சினிமாவின் தாக்கத்தால் தமிழர்களிடையே ஆட்டோ என்ற சொல் பாவனையில் இருந்தாலும் இலங்கையில் திறீவீலர் என்றுதான் எல்லாரும் சொல்வார்கள். சிங்களவர்களிடையே ஆட்டோ என்றால் அவர்களுக்கு விளங்காது.

குறைந்தது 60 ரூபா, கொஞ்சம் கூடத்தூரம் போனால் 100 ரூபா, வெள்ளவத்தையில இருந்து பம்பலப்பிட்டி முடிவுக்குப் போனால் 150 ரூபா என்று முச்சக்கரவண்டியில் இருந்து போகும்போது மனம் அமைதியாகப் போனதே கிடையாது. வழமையான முச்சக்கரவண்டி எனின் கதைச்சுப் பேசி குறைச்சுக்கொள்ளலாம். சிங்களத்தில அதுவும் கடினம். நான் கூடுதலாக நடைதான். காசும் மிச்சம் உடற்பயிற்சியும் ஆகுது.

மனசுக்குக் கேட்கச் சந்தோசமாக இருக்கிறது. தற்போது இலங்கையிலும் மீட்டர் போட்ட முச்சக்கரவண்டிகள் பாவனைக்கு வந்துவிட்டன. வழமையாக முச்சக்கரவண்டிகள் நிறுத்தத்தில இருந்து வீடுவாறதுக்கும் ஒரு காசு போட்டு, பிறகு போற இடத்துக்கும் அறாவிலையில (கொடுத்துப் பழகியதால் தெரிவதில்லை) காசு போட்டு அவன் இரண்டு மாசத்தில முச்சக்கரவண்டி வாங்கின காசை எடுத்துவிடுவான். இப்போது பரவாயில்லை. விளம்பரத்தைச் சுட்டிய மயூரேசனுக்கு குட்டி நன்றி.

சும்மா பகிடிக்குத்தான் யாராவது இதை உருவாக்கினார்களோ என்று கடைசியாக இருக்கிற அப்பிள் டக்ஸிக்கு தொலைபேசிக்கேட்டேன் இன்று.

சிவந்த அப்பிளின் இனிமையான குரலில் ஒரு பெண் "ஹலோ.. அப்பிள் டக்ஸி" என்றாள். அந்தக் குரலுக்கு மீட்டர் போடாவிட்டாலும் அவர்களுடைய முச்சக்கரவண்டியில் போகலாம். எனினும் விசாரித்துப் பார்த்தேன்.

உண்மைதான். தொலைபேசினால் வீட்டுக்கு வருகின்றார்கள், பெண்ணல்ல... முச்சக்கரவண்டி. அண்மைய டக்ஸி சேவை குறைந்த நேரத்தில் வீட்டுக்கு வந்து சேர்வார்களாம். சூடு போடமாட்டார்கள் என்று நம்புவோம்.

ம்ம்ம்.. என் உடற்பயிற்சி குறையப்போகின்றது போல் தெரிகின்றது.

சும்மா கணிதத்தில வித்தை காட்டுவம் எண்டு இங்கே ஒரு பதிவைப் போட அதுக்கு வந்த பின்னூட்டங்களால் ஆடிப் போனேன். 1 = 0.99999.... என்று நான் சொல்ல, இல்லை நீ பொய் சொல்லுறாய், ஏதோ சித்துவிளையாட்டுக் காட்டி நிறுவிப்போட்டாய் (:-)))) என்று பலபேர் பின்னூட்டம்போட வெளிக்கிட்டுப் போடாமல் போனதெல்லாம் எனக்குத் தெரியும்.

சரி. இது கணிதம். அதாவது உண்மை. சொன்ன எனக்கு எல்லோருக்கும் விளங்கத்தக்க வகையில் சொல்லவேண்டிய கடமையும் இருக்குது. கீழே வடிவாச் சொல்லப்போறன் கவனியுங்கோ.

நான் இங்கே சொல்வது 0.99999...என 9 கள் திரும்பத்திரும்ப வரும் எண்ணைத்தான் என்பதை வாசகர்கள் கவனிக்கவேண்டும். இதை நான் 0.999' எனக்குறிப்பிடுகிறேன். இது தொடர்ந்து செல்லும் எண் என்பதால் இதனை 10 இனால் பெருக்கினாலும் 9.9999999....என தொடர்ந்து செல்லும் எண்ணே கிடைக்கும். அதாவது 9.999' கிடைக்கும். சரி நிறுவலுக்குப் போவோம்.

நிறுவல் 1: பின்ன முறை நிறுவல்








அல்லது







அல்லது




நிறுவல் 2: சமன்பாட்டு முறை தீர்வு











நிறுவல் 3: கணித ஒழுங்குமுறை
























இதில் இறுதியில் 9/9 = 0.999' என வருகிறது. அதாவது 1 = 0.999' ஆகும்.

நிறுவல் 4: எதிர்மறுப்பு முறை (படத்தைச் சொடுக்கிப் பாருங்கோ)
























நிறுவல் 5: பெருக்கற்றொடர் முறை

பெருக்கற்றொடர் ஒன்றில் |r| > 1 ஆக இருக்க கீழ்வரும் சமன்பாடு பெறப்படும்.




எனவே இம்முறையி்ல் 0.999' இனை கீழ்வருமாறு எழுதலாம்.





அதாவது 1 = 0.999' ஆகும்.

முடிவு: 1 = 0.999999.... என்பது முடிந்த முடிவு

பி.கு: உண்மையில் நான் இதுபற்றிய எனது முதலாவது பதிவை சும்மாதான் போட்டிருந்தேன். ஆனால் அதற்கு வந்த பின்னூட்டங்களால் தான் அங்கே இஙகே என்று போய் தேடி முடிவைக்காணக் கூடியதாக இருந்தது. ஆகவே பின்னூட்டமிட்ட அனைவருக்கும் நன்றிகள்.

மேலதிக தகவல்களுக்காக விக்கிபீடியாவி்ல் இங்கே செல்லுங்கள், யூடியூப்பில் இங்கே செல்லுங்கள்.

- மதுவதனன் மௌ. -

நீண்ட காலத்துக்குப் பிறகு இந்த வலைப்பதிவுக்கு வாறீங்க. வாங்கோ. நான் கூடத்தான் வந்து கன காலம் ஆகுது. வந்துட்டீங்கதான். இந்த ஆச்சரியத்தைப் பாத்துட்டுப் போங்கோ.

உங்ளுக்கு பத்தினை ஒன்பதினால் பிரித்தால் வரும் எண்ணைத் தெரியுமல்லவா. அதாவது,

10/9 = 1.11111111111111................................ இப்படியே போய்க்கொண்டிருக்கும். இதனை நாங்கள் 1.111' என்று குறிப்பது வழக்கம்.

உதாரணமாக,

70/9 = 7.777'

இப்போது தொடர்ந்து செல்லும் எண்களைக் குறிக்கத்தெரிந்துவிட்டது.

நான் என்ன சொல்கிறேன் என்றால்...

1 உம் 0.999' உம் சமனானவை என்கிறேன். இல்லையென்கிறீர்களா நீங்கள்?

பாருங்கோ நிறுவிக் காட்டுறன்.

n = 0.999'
10 x n = 10 x 0.999'
10n = 9.999'
10n - n = 9.999' - n
10n - n = 9.999' - 0.999'
9n = 9
n = 1

அதாவது 1 = 0.999'

நம்பக் கஷ்டமாக இருக்கிறதா? ஆனால் உண்மதான் இது. அதாவது
1 = 0.999'
2 = 1.999'
3 = 2.999'
_ _ _ _ _
_ _ _ _ _

நேர்கோடு என்பது ஒரு வட்டம் என்ற உண்மையை எவ்வாறு எங்கள் மனம் நம்ப மறுக்கிறதோ, அதேபோல் இதையும் நம்ப மறுக்கும் எங்கள் மனம்.

பி.கு: இதற்கு வந்த பின்னூட்டங்களால் இலகுவாக இந்த உண்மையை விளங்கத்தக்க வகையில் இரண்டாவது பதிவை இங்கே இட்டிருக்கிறேன்.

- மதுவதனன் மௌ. -