நா

சும்மா கணிதத்தில வித்தை காட்டுவம் எண்டு இங்கே ஒரு பதிவைப் போட அதுக்கு வந்த பின்னூட்டங்களால் ஆடிப் போனேன். 1 = 0.99999.... என்று நான் சொல்ல, இல்லை நீ பொய் சொல்லுறாய், ஏதோ சித்துவிளையாட்டுக் காட்டி நிறுவிப்போட்டாய் (:-)))) என்று பலபேர் பின்னூட்டம்போட வெளிக்கிட்டுப் போடாமல் போனதெல்லாம் எனக்குத் தெரியும்.

சரி. இது கணிதம். அதாவது உண்மை. சொன்ன எனக்கு எல்லோருக்கும் விளங்கத்தக்க வகையில் சொல்லவேண்டிய கடமையும் இருக்குது. கீழே வடிவாச் சொல்லப்போறன் கவனியுங்கோ.

நான் இங்கே சொல்வது 0.99999...என 9 கள் திரும்பத்திரும்ப வரும் எண்ணைத்தான் என்பதை வாசகர்கள் கவனிக்கவேண்டும். இதை நான் 0.999' எனக்குறிப்பிடுகிறேன். இது தொடர்ந்து செல்லும் எண் என்பதால் இதனை 10 இனால் பெருக்கினாலும் 9.9999999....என தொடர்ந்து செல்லும் எண்ணே கிடைக்கும். அதாவது 9.999' கிடைக்கும். சரி நிறுவலுக்குப் போவோம்.

நிறுவல் 1: பின்ன முறை நிறுவல்








அல்லது







அல்லது




நிறுவல் 2: சமன்பாட்டு முறை தீர்வு












நிறுவல் 3: கணித ஒழுங்குமுறை

























இதில் இறுதியில் 9/9 = 0.999' என வருகிறது. அதாவது 1 = 0.999' ஆகும்.

நிறுவல் 4: எதிர்மறுப்பு முறை (படத்தைச் சொடுக்கிப் பாருங்கோ)
























நிறுவல் 5: பெருக்கற்றொடர் முறை

பெருக்கற்றொடர் ஒன்றில் |r| > 1 ஆக இருக்க கீழ்வரும் சமன்பாடு பெறப்படும்.




எனவே இம்முறையி்ல் 0.999' இனை கீழ்வருமாறு எழுதலாம்.





அதாவது 1 = 0.999' ஆகும்.

முடிவு: 1 = 0.999999.... என்பது முடிந்த முடிவு

பி.கு: உண்மையில் நான் இதுபற்றிய எனது முதலாவது பதிவை சும்மாதான் போட்டிருந்தேன். ஆனால் அதற்கு வந்த பின்னூட்டங்களால் தான் அங்கே இஙகே என்று போய் தேடி முடிவைக்காணக் கூடியதாக இருந்தது. ஆகவே பின்னூட்டமிட்ட அனைவருக்கும் நன்றிகள்.

மேலதிக தகவல்களுக்காக விக்கிபீடியாவி்ல் இங்கே செல்லுங்கள், யூடியூப்பில் இங்கே செல்லுங்கள்.

- மதுவதனன் மௌ. -

 
இடுகை பிடித்தால் மேல்க்கையிலும், பிடிக்காவிட்டால் கீழ்க்கையிலும் சொடுக்கிவிட்டுப் போங்கோ

29 பின்னூட்டங்கள்.

:) உங்களுடைய நிரூபனம் எல்லாம் சரிதான். ஆனால் இங்கேதான் தவறு இருக்கிறது ---

1 = 0.99999.... அல்லது 1=0.999' என்றோ கணிதம் சொல்வதில்லை. நாம்தான் நமது வசதிக்காக எடுத்துக் கொள்கிறோம்.

1 வருட கணக்காக - 365.25 என்பதை 365 என்று நாம்தான் கொள்கிறோம். ஆனால் அதன் மீதியை 4 வருடத்திற்கு ஒரு முறை லீப் இயராக அட்ஜஸ்ட் செய்து கொள்ள வேண்டும். கணிதம் சொல்வது 1=1 மட்டுமே :-)

மதுவர்மன் July 19, 2008 at 10:36 AM

ஸ்ரீதர் நாராயணன் சொல்வதுபோல,

1=0.999' என்பது ஒரு எடுகோலேயொழிய, பெறுமான அடிப்படையில் இரண்டும் சமனல்ல.

வேறு வழி இல்லை என்ற நிலையில், இரண்டையும் சமன் என்று சொல்லவேண்டியுள்ளது.

(∞ - 1) = ∞ என்று சொல்லது போல தான் இதுவும்.

கணித எடுகோளை விட்டுவிட்டு பார்த்தால், (∞ - 1)க்கும், ∞ க்கும் இடையில் ஒரு வேற்பாடு இருப்பதுபோன்று தெரியவில்லையா?

முடிவிலி என்ற மயக்கத்தால் அந்த வேறுபாட்டை இல்லாது காண்பிக்கின்றோம். அவ்வளவு தான்.

(∞ - 1) உம் ∞ உம், பெருமானங்களில் முடிவிலி தான், ஆனால் இரண்டு முடிவிலிகளுக்கும் வேறுபாடு உண்டென்கின்றேன் நான்.

அந்த வேறுபாடு 1 ஆல் வருவது. 1.

நிமல்/NiMaL July 19, 2008 at 11:16 AM

"Level 1 - Naya Maths" மாதிரி இருக்கு... :)

அதில தானே 1+0=1 எல்லாம் நிறுவினனாங்க...!

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 12:58 PM

//
ஸ்ரீதர் நாராயணன் said...

:) உங்களுடைய நிரூபனம் எல்லாம் சரிதான். ஆனால் இங்கேதான் தவறு இருக்கிறது ---

1 = 0.99999.... அல்லது 1=0.999' என்றோ கணிதம் சொல்வதில்லை. நாம்தான் நமது வசதிக்காக எடுத்துக் கொள்கிறோம்.
//

வாங்கோ ஸ்ரீதர்,

கணிதம் நாம் என்று பிரித்துப் பார்க்கத் தேவையில்லை. கணிதம் இரண்டும் சமன் என்று எத்தனையோ வழிகளில் சொல்கிறது. நான் அதை வெளிப்படுத்தியிருக்கிறேன். அவ்வளவுதான்.

மேலகூட கணிதம் தான் சொல்கிறது 1 = 0.99999...என்று.

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 1:01 PM

//
மதுவர்மன் said...

ஸ்ரீதர் நாராயணன் சொல்வதுபோல,

1=0.999' என்பது ஒரு எடுகோலேயொழிய, பெறுமான அடிப்படையில் இரண்டும் சமனல்ல.
//

1 = 0.999' என்பது எடுகோளல்ல. எதிர்மறுப்புமுறை நிறுவலைப் பார்த்தீர்களா?

1 உம் 0.999' உம் சமனில்லை என எடுத்தாலும் இறுதியில் எங்களது எடுகோள் பிழை எனவே வருகிறது.

0.99999999999...இனையும் 0.999 இனையும் வேறுபடுத்திப் பார்க்க மனம் மயங்குவதாலேயே நாம் நம்ப மறுக்கிறோம்.

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 1:07 PM

//
நிமல்/NiMaL said...

"Level 1 - Naya Maths" மாதிரி இருக்கு... :)

அதில தானே 1+0=1 எல்லாம் நிறுவினனாங்க...!
//

ஓம் நிமல்.
1 = 1 என்பதைக்கூட கணிதமுறையில் நிறுவித்தான் பல்கலைக்கழகத்தில பாவித்தோம் என்பது இன்னொரு விடயம். 1 = 1, 1+0 = 1, 1+0 = 0+1 என்பவற்றையெல்லாம் நிறுவியிருந்தோம். எல்லாமே கணித முறைப்படி.

அதனால வந்த ஒரு தாக்கத்தாலதான் இந்த பதிவிடவேண்டி வந்ததென்று நினைத்துக்கொள்வோம்.

மதுவதனன் மௌ.

:-)))

யோசிப்பவர் July 19, 2008 at 1:15 PM

மதுவதனன்,

சரியாக சொல்வதென்றால், 1/9 = 0.111... என்று எழுதுவதே தவறானது. 1/9 approx.= 0.111... என்பதுதான் சரியானது. அதனால், 1=0.999.... தவறானது. ஆனால் 1 approx.=0.9999... என்பது சரியென்று வரும். உங்களது நிறுவல்களும், அப்பொழுதுதான் சரியானவையாகும்.

//கணிதம் இரண்டும் சமன் என்று எத்தனையோ வழிகளில் சொல்கிறது//

ஐயா,

நீங்கள் சொல்லிவிட்டு கணிதம் சொல்கிறது என்றெல்லாம் சொல்லாதீர்கள்.

எண் கணிதப்படி 1 <> 1.0000000000000000000000000000000000000000000000000001

1 என்றுமே 1-ஓடு மட்டுமே ஈடு செய்ய முடியும். (1 is always equal to 1 and 1 only).

எண் கணித சாஸ்திரப்படி 0-க்கும் 1-க்கும் இடையே இருக்கும் எண்களின் எண்ணிக்கை 'infinity'. அப்படியிருக்க 0.999' என்றுமே 1-க்கு ஈடு இல்லை.

உங்கள் வசதிக்கு நீங்கள் 0.999999 = 1 என்று அனுமானித்துக் கொள்கிறீர்கள். அந்த அனுமானத்தின் மேல் நீங்கள் கட்டமைக்கும் தேற்றங்கள் இவை. எளிதாக புறந்தள்ள வேண்டியவையே. இதற்கு மேல் சொல்ல ஒன்றுமில்லை :-)

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 2:19 PM

வாங்கோ ஸ்ரீதர்,

1 ற்கும் 0.9999999...ற்குமிடையில எந்தவொரு எண்ணும் இல்லை என்பது கூட மேலே எதிர்மறுப்பு முறையில் நிறுவப்பட்டுள்ளது.

மேலதிக தகவல்களுக்காக தயவுசெய்து மேலே உள்ள விக்கிபீடியா சுட்டிக்கும் இங்கே யூடியூப் சுட்டிக்கும் போங்கோ.

நன்றி ஸ்ரீதர்.

மதுவதனன் மௌ.

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 2:21 PM

வாங்கோ யோசிப்பவர்,

இல்லைங்க இது அண்ணளவாக்கம் இல்லைங்க.

1/9 என்பது 0.999999...என திரும்பத்திரும்ப வரும் எண். அதைத்தான் நாங்கள் 0.999' எனக் குறிக்கிறோமே தவிர அண்ணளவாக்கவில்லை.

மேலே உள்ள சுட்டிகளுக்குச் சென்று பாருங்கள்.

மதுவதனன் மௌ.

யோசிப்பவர் July 19, 2008 at 2:40 PM

மதுவதனன்,
//1/9 என்பது 0.999999...//
1/9=0.1111' ஆ அல்லது 1/9=0.9999'ஆ?

நீங்கள் தந்துள்ள சுட்டிகளையெல்லாம் உங்கள் பதிவுக்கு வரும் முன்பே படித்துவிட்டேன்.

ஒன்று கூறுங்கள். 9/9=1ஆ அல்லது 9/9=0.9999'ஆ?

0.999' என்பது முடிவில்லாத பின்னம். ஆனால் 1 என்பது ஒரு definite integer. இரண்டும் ஒன்றாக முடியாது. 1<>0.9999' as well as 1 approx.= 0.9999'

யோசிப்பவர் July 19, 2008 at 2:52 PM

1=1.000000'
1.0000'-0.9999'=?

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 2:56 PM

//
யோசிப்பவர் said...

மதுவதனன்,
//1/9 என்பது 0.999999...//
1/9=0.1111' ஆ அல்லது 1/9=0.9999'ஆ?

நீங்கள் தந்துள்ள சுட்டிகளையெல்லாம் உங்கள் பதிவுக்கு வரும் முன்பே படித்துவிட்டேன்.

ஒன்று கூறுங்கள். 9/9=1ஆ அல்லது 9/9=0.9999'ஆ?
//

:-)) பின்னூட்டங்களிலும் சரி, பதிவிலும்சரி தொடர்ந்து 0.99999..என எழுதியதால் வந்த பழக்கத்தால் அப்படி எழுதிவிட்டேன். மன்னிச்சுடுஙகோ. அந்த பின்னூட்டத்துக்கு 1/9 = 0.11111..என கொள்ளுங்கள்.

//
0.999' என்பது முடிவில்லாத பின்னம்.
//

0.999' என்பது முடிவள்ள பின்னம்; தொடர்ந்துசெல்லும் எண். அதாவது 0.999' என்பது 1/1 எனும் முடிவுள்ள பின்னம் 0.99999...என தொடர்ந்து செல்லும் எண்.

//
நீங்கள் தந்துள்ள சுட்டிகளையெல்லாம் உங்கள் பதிவுக்கு வரும் முன்பே படித்துவிட்டேன்.
//

உண்மையாகவா, விக்கிபீடியாவில் உள்ள அனைத்து நிறுவல்களையும் வாசித்தீர்களா..

அதன்பிறகும் ஏற்றுக்கொள்ள முடியவில்லையா..


மதுவதனன் மௌ.

மதுவர்மன் July 19, 2008 at 3:25 PM

0 இற்கும் 1 இற்கும் இடையிலுள்ள Real Numbers களில் ஒன்று.

இதெல்லாம் கணித அண்ணளவாக்கமே.

எப்படி வெவ்வேறு அளவுகளில் முடிவிலி இலக்கங்கள் உள்ளதோ அவ்வாறே இதுவும்.

இயற்கை எண்களை N எண்ற தொடையால் குறித்தால்...

N = {1,2,3,4......}
|N| என்பது ஒரு முடிவிலி இலக்கம்

இப்போது தொடை N இனுடைய வலுத்தொடையை p(N) என்று குறிப்போம்

இப்போது |p(N)| என்பதும் ஒரு முடிவிலி இலக்கம்.

|p(N)| எப்போதும் |N| ஐ விட பெரியது

|p(N)| > |N|

ஆகவே இங்கே இரு முடிவிலி (Infinity) இலக்கங்கள் முன்னையது, பின்னையதை விட சிறியது என்பது நிரூபணமாகின்றது.

இதை இன்னும் சிறப்பாக

|N| < |p(N)| < |p(p(N))| < |p(p(p(N)))|......

என்று முடிவிலிகளின் அளவு அதிகரித்து செல்வதை காணலாம்.

அவ்வாறே உண்மை எண்களை (R) பார்த்தோமானால்

|R| > |N)| (Always)

ஆகவே இங்கே, 1 என்பது ஒரு இயற்கை எண்ணாகவும், 1.9999' என்பது 1 ஐ விட குறைந்த உண்மை எண்ணாகவும் இருக்கின்றதேயொழிய, இரண்டும் சமனல்ல.

கணிதத்தில் வேண்மென்றால் நிறுவிக்காட்டிவிட்டுபோகலாம்.

கொஞ்சம் கணிதபூர்வமில்லாமல் சிந்தித்தால் வித்தியாசம் விளங்கும்.

மதுவர்மன் July 19, 2008 at 3:27 PM

இன்னொன்றை நினைவில் வைத்திருக்கவேண்டும்.

கணிதவிதிகளை அடிப்படையாக வைத்து

2=1 என்றும் நிறுவமுடியும்.

அதற்காக அது உண்மை ஆகிவிடமுடியுமா? :)

மதுவர்மன் July 19, 2008 at 3:55 PM

The fundamental fault is this. We are indoctrinated to accpet that

1/3 = 0.3333.....

Whic is not true. It's raally not a correct equation. In mathematics we are approximating it.

0.9999... is a Process. It doesn't have a real definite value. SO how comes it can be equated to 1 unless we approximate.

Situation is that some real numbers can only be approximated, like the square root of 2, whereas others, like 1, can be written exactly, but can also be approximated. So 0.999... is a series that approximates the exact number 1

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 7:32 PM

//
யோசிப்பவர் said...

1=1.000000'
1.0000'-0.9999'=?
//

1.0000000.....தானுங்க. யூடியூப் சுட்டிய சொடுக்கி வீடியோவின் இறுதிவரை பாருஙகோ.

மதுவதனன் மௌ.

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 7:35 PM

//
மதுவர்மன் said...

இன்னொன்றை நினைவில் வைத்திருக்கவேண்டும்.

கணிதவிதிகளை அடிப்படையாக வைத்து

2=1 என்றும் நிறுவமுடியும்.

அதற்காக அது உண்மை ஆகிவிடமுடியுமா? :)
//

2 = 1 என கணிதத்தில் நிறுவ முடியாதென்கிறேன். இயலுமானால் நிறுவிக் காட்டுங்கள் நான் காரண காரியங்களுடன் மறுக்கிறேன். :-)))

மதுவதனன் மௌ.

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 7:41 PM

தமிழநெஞ்சம், உங்க ofone வீடியோ பார்த்தேன் நன்றாயிருந்தது.

மதுவதனன் மௌ.

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 7:46 PM

//
மதுவர்மன் said...

0 இற்கும் 1 இற்கும் இடையிலுள்ள Real Numbers களில் ஒன்று.
//

இல்லை, 1 இற்கும் 0.9999...ற்குமிடையில் ஒரு எண்ணும் இல்லை.

தமிழன்... July 19, 2008 at 8:10 PM

A/L என்ன படிச்சிங்க...?

தமிழன்... July 19, 2008 at 8:12 PM

பதிவையும் நிறுவல்களையும் பாக்கையில் அந்த நாள் நினைவுகள் இப்பொழுது கணிதம் மருந்துக்கு கூட நினைவில் இல்லை...

நன்றி மது...:)

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 8:34 PM

//
தமிழன்... said...

A/L என்ன படிச்சிங்க...?
//

A/L என்றே கேட்டுவிட்டீர்கள். அதாவது நான் இலங்கை என்று அறிந்துகொண்டீர்கள். நல்லது..க.பொ.த உயர் தரத்தில் கணிதத்தைத்தான் தெரிவுசெய்து படித்திருந்தேன்.

இந்தியாவில் இதற்கு ஈடானது +2 வா? தெரிந்தால் யாராவது சொல்லுங்கள்.

மதுவதனன் மௌ.

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 8:36 PM

// தமிழன்... said...

பதிவையும் நிறுவல்களையும் பாக்கையில் அந்த நாள் நினைவுகள் இப்பொழுது கணிதம் மருந்துக்கு கூட நினைவில் இல்லை...//

கணிதம் இயற்கை வழியானதே. கொஞ்சம் கிட்டபோனா தானா தொத்திக்கும். :-))

Umakanthan A. July 19, 2008 at 8:38 PM

0.9999' tends to 1.
It is never equal to 1. If so why do we need 1? LOL..

மதுவதனன் மௌ. July 19, 2008 at 9:01 PM

//
Umakanthan A. said...

0.9999' tends to 1.
It is never equal to 1. If so why do we need 1? LOL..
//

புரியலீங்க..தலைவா..LOL போட்டது நீங்க கேட்ட கேள்விக்கா அல்லது எனக்கா. :-))))

மதுவர்மன் July 20, 2008 at 3:16 PM

2=1 என்பதற்கான நிறுவல்..

-2 = -2
4 - 6 = 1 - 3
4 - 6 + 9/4 = 1 - 3 + 9/4
(2 - 3/2)2 = (1 - 3/2)2
2 - 3/2 = 1 - 3/2
2 = 1

ரசிகன் November 28, 2012 at 8:23 AM

//4 - 6 + 9/4 = 1 - 3 + 9/4
(2 - 3/2)2 = (1 - 3/2)2//

ஐயா மதுவர்மன்,
எங்கை நீங்க கணிதம் படிச்சீங்க..
இந்த 2 வரிக்கும் என்ன சம்பந்தம்..

முன்னால இருந்தும் பின்னால இருந்தும் கொண்டுவந்து இடையில சம்பந்தமே இல்லாம விட்டிட்டீங்க...

4 - 6 + 9/4 = 1 - 3 + 9/4
=> -2+9/4 = -2 + 9/4
இது சரி..

(2 - 3/2)2 = (1 - 3/2)2
=> (1/2)2 = (-1/2)2
இது முழுப்பிழை..
அதோட முதல் வரிக்கும் இதுக்கும் எந்தச் சம்பந்தமுமே இல்லை...

நீங்களும் பின்னூட்டமிடுங்கோ